Wolfgang Pavel: Bilderbuch zur Mathematik
Partielle Ableitungen - Totales Differential

Um die räumlichen Grafiken als Anaglyphen für eine 3D-Stereodarstellung zu sehen,
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Bild 1
• Fläche z=f(xy)
• Punkt auf Fläche: P(xoyozo)=f(xoyo)
• Abweichung vom Punkt P, zusammengesetzt aus den Komponenten in x- und y-Richtung: Δx und Δy
• Ergibt Abweichung Δz für die Flächenfunktion

• Statt Fläche betrachte Tangentialebene an Fläche durch P
• Deren Abweichung Δz kann als Näherung für die Flächenabweichung Δz dienen.
• Die Abweichung Δz kann ohne Kenntnis der Funktion f(xy) aus den Steigungen im Punkt P, also den partiellen Ableitungen fx und fy im Punkt P, gewonnen werden.

• Im Grenzübergang Δx→0 und Δy→0 und damit ΔzΔz erhält man das totale Differential der Funktion f(xy): dz = fx(xy)∙dx + fy(xy)∙dy
Siehe dazu die Gleichung für Δz in Bild 4.

Die folgenden Zeichnungen zeigen die Betrachtungsweisen detaillierter.
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Bild 2: Partielle Ableitung nach x
• Fläche z=f(xy)
• Punkt auf Fläche: P(xoyozo)=f(xoyo)
• Ebene parallel zur x-z-Ebene durch Punkt P: yyo
• Ebene schneidet Fläche in Kurve; diese ist Funktion nur von x; (y ist konstant y=yo): g(x)=f(xyo)
• DieAbleitung dieser Funktion nach x (in der Ebene yyo, also bei konstantem y=yo) ist die partielle Ableitung der Fläche z=f(xy) nach x, also fx(xy), an der Stelle yo:
g´
(
x
)
=
 
f
(
x , y
)
x
y
=
y
0
=
f
x
(
x , y
0
)

• Für x=xo, also im Punkt P, ist g'(xo)=fx(xoyo), die Richtung der Tangente an die Fläche z=f(xy) im Punkt P in x-Richtung.
• Aus dieser Richtung kann man exakt berechnen, welchen Einfluss eine Änderung von x um Δx auf den Wert der Tangente hat: Δxz=fx(xoyo)∙Δx

• Für kleine Werte von Δx kann dieser Wert Δxz auch als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(xy) bei einer Änderung von x (bei konstantem y) dienen.
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Bild 3: Partielle Ableitung nach y
• Fläche z=f(xy)
• Punkt auf Fläche: P(xoyozo)=f(xoyo)
• Ebene parallel zur y-z-Ebene durch Punkt P: xxo
• Ebene schneidet Fläche in Kurve; diese ist Funktion nur von y; (x ist konstant x=xo): h(y)=f(xoy)
• DieAbleitung dieser Funktion nach y (in der Ebene xxo, also bei konstantem x=xo) ist die partielle Ableitung der Fläche z=f(xy) nach y, also fy(xy), an der Stelle xo:
h´
(
y
)
=
 
f
(
x , y
)
y
x
=
x
0
=
f
y
(
x
0
 
 , y
)

• Für y=yo, also im Punkt P, ist h'(yo)=fy(xoyo), die Richtung der Tangente an die Fläche z=f(xy) im Punkt P in y−Richtung.
• Aus dieser Richtung kann man exakt berechnen, welchen Einfluss eine Änderung von y um Δy auf den Wert der Tangente hat: Δyz=fy(xoyo)∙Δy

• Für kleine Werte von Δy kann dieser Wert Δyz auch als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(xy) bei einer Änderung von y (bei konstantem x) dienen.
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Bild 4: Exakte Abweichungsberechnung auf der Tangentialebene
• Fläche z=f(xy)
• Punkt auf Fläche: P(xoyozo)=f(xoyo)
• Die Tangenten an die Fläche im Punkt P (siehe Bilder 2 und 3) spannen die Tangententialebene an die Fläche im Punkt P auf.

• Eine Abweichung vom Punkt P kann durch die Abweichungen in x-Richtung Δx und y-Richtung Δy ausgedrückt werden.
• Die Abweichung bewirkt eine Änderung des z-Wertes Δz der Tangentialebene.
• Durch vektorielle Rechnung ζ = ξ + η oder rein geometrisch wie in diesem Bild ergibt sich diese Abweichung als Summe der Abweichungskomponenten: Δz = Δxz + Δyz
• Mit den Ergebnissen in Bildern 2 und 3 ist:
Δz = fx(xoyo)∙Δx + fy(xoyo)∙Δy
• Im Grenzübergang (Δxy)→(0,0) und für alle (x,y) entspricht dies dem totalen Differential (siehe Bild 1)

• Da dies für alle Abweichungen (Δx=xxo , Δy=yyo) auf der Tangentialebene gilt, ist die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt P=(xoyo):
z = t(x,y) = f(xo,yo) + fx(xo,yo)∙(x-xo) + fy(xo,yo)∙(y-yo)

• Für kleine Abweichungen vom Punkt P kann dieser Wert Δz als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(x,y) selbst dienen (siehe Bild 1).