Bilderbuch zur Mathematik
Partielle Ableitungen - Totales Differential

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Bild 1
• Fläche z=f(x, y)
• Punkt auf Fläche: P(xo, yo, zo)=f(xo, yo)
• Abweichung vom Punkt P, zusammengesetzt aus den Komponenten in x- und y-Richtung: Δx und Δy
• Ergibt Abweichung Δz für die Flächenfunktion
• Statt Fläche betrachte Tangentialebene an Fläche durch P
• Deren Abweichung Δz kann als Näherung für die Flächenabweichung Δz dienen.
• Die Abweichung Δz kann ohne Kenntnis der Funktion f(x, y) aus den Steigungen im Punkt P, also den partiellen Ableitungen fx und fy im Punkt P, gewonnen werden.
• Im Grenzübergang Δx→0 und Δy→0 und damit Δz→Δz erhält man das totale Differential der Funktion f(x, y): dz = fx(x, y)∙dx + fy(x, y)∙dy
Siehe dazu die Gleichung für Δz in Bild 4.
Die folgenden Zeichnungen zeigen die Betrachtungsweisen detaillierter.
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Bild 2: Partielle Ableitung nach x
• Fläche z=f(x, y)
• Punkt auf Fläche: P(xo, yo, zo)=f(xo, yo)
• Ebene parallel zur x-z-Ebene durch Punkt P: y≡yo
• Ebene schneidet Fläche in Kurve; diese ist Funktion nur von x; (y ist konstant y=yo): g(x)=f(x, yo)
• DieAbleitung dieser Funktion nach x (in der Ebene y≡yo, also bei konstantem y=yo) ist die partielle Ableitung der Fläche z=f(x, y) nach x, also fx(x, y), an der Stelle yo:
g´
(
x
)
=
 
∂f
(
x , y
)
∂x
y
=
y
0
=
f
x
(
x , y
0
)
• Für x=xo, also im Punkt P, ist g'(xo)=fx(xo, yo), die Richtung der Tangente an die Fläche z=f(x, y) im Punkt P in x-Richtung.
• Aus dieser Richtung kann man exakt berechnen, welchen Einfluss eine Änderung von x um Δx auf den Wert der Tangente hat: Δxz=fx(xo, yo)∙Δx
• Für kleine Werte von Δx kann dieser Wert Δxz auch als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(x, y) bei einer Änderung von x (bei konstantem y) dienen.
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Bild 3: Partielle Ableitung nach y
• Fläche z=f(x, y)
• Punkt auf Fläche: P(xo, yo, zo)=f(xo, yo)
• Ebene parallel zur y-z-Ebene durch Punkt P: x≡xo
• Ebene schneidet Fläche in Kurve; diese ist Funktion nur von y; (x ist konstant x=xo): h(y)=f(xo, y)
• DieAbleitung dieser Funktion nach y (in der Ebene x≡xo, also bei konstantem x=xo) ist die partielle Ableitung der Fläche z=f(x, y) nach y, also fy(x, y), an der Stelle xo:
h´
(
y
)
=
 
∂f
(
x , y
)
∂y
x
=
x
0
=
f
y
(
x
0
 
 , y
)
• Für y=yo, also im Punkt P, ist h'(yo)=fy(xo, yo), die Richtung der Tangente an die Fläche z=f(x, y) im Punkt P in y−Richtung.
• Aus dieser Richtung kann man exakt berechnen, welchen Einfluss eine Änderung von y um Δy auf den Wert der Tangente hat: Δyz=fy(xo, yo)∙Δy
• Für kleine Werte von Δy kann dieser Wert Δyz auch als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(x, y) bei einer Änderung von y (bei konstantem x) dienen.
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Bild 4: Exakte Abweichungsberechnung auf der Tangentialebene
• Fläche z=f(x, y)
• Punkt auf Fläche: P(xo, yo, zo)=f(xo, yo)
• Die Tangenten an die Fläche im Punkt P (siehe Bilder 2 und 3) spannen die Tangententialebene an die Fläche im Punkt P auf.
• Eine Abweichung vom Punkt P kann durch die Abweichungen in x-Richtung Δx und y-Richtung Δy ausgedrückt werden.
• Die Abweichung bewirkt eine Änderung des z-Wertes Δz der Tangentialebene.
• Durch vektorielle Rechnung ζ = ξ + η oder rein geometrisch wie in diesem Bild ergibt sich diese Abweichung als Summe der Abweichungskomponenten: Δz = Δxz + Δyz
• Mit den Ergebnissen in Bildern 2 und 3 ist:
Δz = fx(xo, yo)∙Δx + fy(xo, yo)∙Δy
• Im Grenzübergang (Δx,Δy)→(0,0) und für alle (x,y) entspricht dies dem totalen Differential (siehe Bild 1)
• Da dies für alle Abweichungen (Δx=x−xo , Δy=y−yo) auf der Tangentialebene gilt, ist die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt P=(xo, yo):
z = t(x,y) = f(xo,yo) + fx(xo,yo)∙(x-xo) + fy(xo,yo)∙(y-yo)
• Für kleine Abweichungen vom Punkt P kann dieser Wert Δz als Näherung für die Änderung der Flächenfunktion z=f(x,y) selbst dienen (siehe Bild 1).
Die Formeln in den Texten dieser Seite sind keine Grafiken, sondern
in HTML verfasst und mit meinem Formeleditor erstellt. (Version: 28.12.2014)