Wolfgang Pavel: Lissajous-Grafiken

Anleitung Einstellungen vornehmen; dann »Zeichnen« oder »Herunterladen«

Schwingungsverhältnis:
 : 
Das Schwingungsverhältnis bestimmt die Grundform der Grafik.
Die Angabe 1:1 bewirkt eine kreisförmige Darstellung.
Es wird automatisch gekürzt: z.B. ergibt 6:8 dasselbe wie 3:4

Umdrehungen:

Die Anzahl Umdrehungen bestimmt vorrangig die Struktur der Grafik.
Angabe 1 ergibt die originale Lissajous-Figur ohne Schraffierung.
Die Zahl muss (normalerweise erheblich) kleiner als die Schrittzahl sein.

Schrittzahl
Die Anzahl Schritte bestimmt vorrangig die Feinheit der Schraffur.
Die Schrittzahl muss (normalerweise erheblich) größer sein als die Umdrehungsanzahl. Es genügt eine ungefähre Angabe, denn die Schrittzahl wird, wenn notwendig, automatisch so geändert, dass Schrittzahl und Umdrehungsanzahl teilerfremd sind.

Grafik-Farbe
 LinienFläche
Rot:
Grün:
Blau:
Transparente Fläche
Rot-, Grün- und Blau-Anteil für Vordergrund (Linien) und Hintergrund (Fläche).
Jeder Wert muss eine Zahl von 0 bis 100 sein; die Angabe 0 - 0 - 0 ergibt Schwarz; die Angabe 100 - 100 - 100 weiß.
Wird »transparente Fläche« gewählt, sind die Farbwerte für die Fläche ohne Bedeutung.

Lissajous-Grafik zeichnen

Die Lissajous-Grafik wird mit den angegebenen Werten neu gezeichnet.
Dafür automatisch berichtigte Angaben werden in roter Schrift angezeigt.

Lissajous-Grafik
Heruntergeladen wird eine Grafikdatei im SVG-Format (Scalable Vector Graphic). In diesem Format kann die Grafik verlustfrei beliebig vergrößert oder verkleinert werden.
Heruntergeladen wird immer die zuletzt gezeichnete, also hier sichtbare Grafik; danach geänderte Angaben werden jetzt nicht, sondern erst nach erneutem »Zeichnen« berücksichtigt.


Lissajous-Figuren entstehen, wenn ein Punkt in einer Ebene waagrecht (x-Richtung) und senkrecht (y-Richtung) schwingt. Man kann dies z.B. durch ein Pendel über einer Ebene darstellen, das einen Lichtpunkt auf die Ebene wirft.
Frequenz und Amplitude können in den beiden Richtungen x und y verschieden sein. Dieses Programm beschränkt sich auf gleiche Amplituden in x- und y-Richtung.

Bei den Frequenzen spielt für das Aussehen der Figuren nur das Verhältnis eine Rolle. So ergeben die Verhältnisse 8:6 und 4:3 dieselben Figuren. Das Verhältnis 1:1 ergibt den Kreis als Lissajous-Figur, (bei unterschiedlichen Amplituden die Ellipse).
Mit der Programm-Einstellung »Umdrehungen« gleich 1 bekommt man die reinen Lissajous-Figuren zu gewählten Schwinungsverhältnissen.

Dies Programm unterteilt den Weg des Pendels in gleichmäßige Schritte (Winkel) und verbindet die so auf der Lissajous-Figur erhaltenen Punkte laufend miteinander. Wenn ein Vollkreis mit 360° nicht gerade ein ganzzahliges Vielfaches der Schrittweite ist, bekommt man danach weitere neue Punkte. Lässt man die Lissayous-Figur eine Anzahl Umdrehungen (n) durchlaufen und ist der Gesamtwinkel (
n
·
360°
) kein ganzzahliges Vielfaches der Schrittweite, bringt jede Umdrehung neue Linien: die Lissajous-Figur mit einer Schraffur überzogen.
Durch Variieren des Schwingungsverhältnisses, der Anzahl Umdrehungen und der Schrittweite kann man eine beliebige Vielfalt an so entstehenden Grafiken bekommen.
In Formeln:
Das Schwingungsverhältnis sei a:b , der Winkel ω mache eine Umdrehung (0≤ω≤2π oder 0≤ω≤360°) : dann sind die Koordinaten des schwingenden Punktes:
x
=
cos
(
a
·
ω
)
;
 
y
=
sin
(
b
·
ω
)

Weitere Umdrehungen, also über ω=2π hinaus, ergeben dieselben Koordinaten; die sichtbare Darstellung wird damit nicht mehr geändert.
Für Punkte in einer Schrittweite α sind die Koordinaten
x
k
=
cos
(
a
·
k
·
α
)
;
 
y
k
=
sin
(
a
·
k
·
α
)
;
 
 mit 
 
k
=
1,2,3,...

Geht man jetzt über eine Umdrehung hinaus, erhält man zwar dieselbe Lissajous-Grundfigur; dieselben Punkte auf der Figur aber nur, wenn die Schrittweite α den Vollkreis genau ganzzahlig aufteilt. Ist 2π kein ganzzahliges Vielfaches von α, erhält man andere Punkte auf der Lissajous-Figur und damit neue Schraffurlinien.
So erhält man auch bei weiteren Umdrehungen immer neue Punkte (und Linien), solange man nicht wieder auf ein Vielfaches von 2π trifft. Ist dies nach n Umdrehungen der Fall, dann hat ω also den Bereich 0≤ω≤n*2π durchlaufen;
die Anzahl Schritte ist dann 
s
=
n
·
α

In diesem Programm werden die Anzahl Umdrehungen n und die Anzahl Schritte s angegeben;
die Schrittweite ist dann 
α
=
n
·
s

Sorgt man dafür, dass Umdrehungsanzahl und Schrittanzahl teilerfremd sind, erhält man eine maximale Anzahl an Schraffurlinien. Diese Programm stellt die Werte immer auf eine solche Voraussetzung ein.
Siehe auch: ► Bilderbuch zur Mathematik