Wolfgang Pavel:
Bilderbuch zur Mathematik: Integrale

Einige wichtige Integrale (in HTML-Darstellung)

Die Formeln werden mit dem Schriftsatz des Browsers angezeigt; im Gegensatz zu den sonst üblichen Formeln als Grafiken (meist GIF oder PNG). Man kann die Schriftgröße des Browsers beliebig ändern, um die Formeln ohne Lesbarkeitsverlust größer oder kleiner erscheinen zu lassen. Es sind keine »Plugins« oder »Addons« zur Ansicht nötig.

Sie können selbst solche Formeln mit PHP direkt in HTML erstellen. Sie finden eine Beschreibung dazu und die PHP-Skripte ► hier. Den Skript-Quellcode jeder Formel in der Integralformelsammlung bekommen Sie durch Berühren der Formel mit der Maus.

Inhalt:


Bei Verwendung der Ergebnisse als Stammfunktion ist stets noch die Integrationskonstante hinzuzufügen!

1. Rationale Funktionen:

1.1
x
n
 
dx
=
1
n
+
1
·
x
n
+
1
∫x^n dx=1/{n+1}*x^{n+1}
(
 
n
1
 
)
1.2
(
ax
+
b
)
n
 
dx
=
1
a
(
n
+
1
)
·
(
ax
+
b
)
n
+
1
∫(ax+ b)^n dx=1/{a(n+1)}*(ax+b)^{n+1}
(
 
n
1
 
)
1.3
x
·
(
ax
+
b
)
n
 
dx
=
1
a
2
·
(
n
+
2
)
·
(
ax
+
b
)
n
+
2
b
a
2
·
(
n
+
1
)
·
(
ax
+
b
)
n
+
1
∫x*(ax+b)^n dx=1/{{a^2}*(n+2)}*(ax+b)^{n+2} - b/{{a^2}*(n+1)}*(ax+b)^{n+1}
(
 
n
1
 
)
1.4
1
x
 
dx
=
ln
 
|
x
|
∫1/x dx=ln |x|
 
1.5
1
ax
+
b
 
dx
=
1
a
·
ln
 
|
ax
+
b
|
∫1/{ax+b} dx=1/a*ln |ax+b|
 
1.6
x
ax
+
b
 
dx
=
x
a
b
a
2
·
ln
 
|
ax
+
b
|
∫x/{ax+b} dx=x/a-b/{a^2}*ln |ax+b|
 
1.7
1
x
·
(
ax
+
b
)
 
dx
=
1
b
·
ln
 
|
ax
+
b
x
|
∫1/{x*(ax+b)} dx=-1/b*ln {|{ax+b}/x|}
 
1.8
ax
+
b
cx
+
d
 
dx
=
ax
c
+
bc
ad
c
2
·
ln
 
|
cx
+
d
|
∫{ax+b}/{cx+d} dx=ax/c+{bc-ad}/{c^2}*ln |{cx+d}|
 
1.9
1
(
ax
+
b
)
(
cx
+
d
)
 
dx
=
1
bc
ad
·
ln
 
|
cx
+
d
ax
+
b
|
∫1/{(ax+b)(cx+d)} dx=-1/{bc-ad}*ln |{cx+d}/{ax+b}|
(
 
bc
ad
 
)
1.10
1
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
=
2
4ac
b
2
·
arctan
(
2ax
+
b
4ac
b
2
)
∫1/{ax^2+bx+c} dx=2/§4ac-b^2*arctan({2ax+b}/§4ac-b^2)
bei
 
4ac
>
b
2
 
 
 
=
2
2ax
+
b
\ =-2/{2ax+b}
bei 
4ac
=
b
2
 
 
 
=
1
b
2
4ac
·
ln
|
2ax
+
b
b
2
4ac
2ax
+
b
+
b
2
4ac
|
=
2
b
2
4ac
·
arctanh
(
2ax
+
b
b
2
4ac
)
\ =1/§b^2-4ac*ln|{2ax+b-§b^2-4ac}/{2ax+b+§b^2-4ac}|=2/§b^2-4ac*arctanh({2ax+b}/§b^2-4ac)
bei 
4ac
<
b
2
1.11
x
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
=
1
2a
·
ln
|
ax
2
+
bx
+
c
|
b
2a
·
1
ax
2
+
bx
+
c
dx
&int;x/{ax^2+bx+c} dx=1/2a*ln|ax^2+bx+c|-b/2a*&int;1/{ax^2+bx+c}dx
(siehe 1.10)
1.12
1
x
·
(
ax
2
+
bx
+
c
)
 
dx
=
1
2c
·
ln
(
x
2
ax
2
+
bx
+
c
)
b
2c
·
1
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
&int;1/{x*(ax^2+bx+c)} dx=1/2c*ln({x^2}/{ax^2+bx+c})-b/2c*&int;1/{ax^2+bx+c} dx
(siehe 1.10)
1.13
1
a
2
+
x
2
 
dx
=
1
a
·
arctan
 
x
a
&int;1/{a^2+x^2} dx=1/a*arctan x/a
 
1.14
1
a
2
x
2
 
dx
=
1
2
·
ln
|
a
+
x
a
x
|
&int;1/{a^2-x^2} dx=1/2*ln|{a+x}/{a-x}|
 
1.15
x
a
2
±
x
2
 
dx
=
±
1
2
·
ln
|
a
2
±
x
2
|
&int;x/{a^2+-x^2} dx=+-1/2*ln|a^2+-x^2|
 
1.16
1
x
·
(
a
2
±
x
2
)
 
dx
=
1
2a
2
·
ln
|
x
2
a
2
±
x
2
|
&int;1/{x*(a^2+-x^2)} dx=1/{2a^2}*ln|{x^2}/{a^2+-x^2}|
 
1.17
1
x
2
+
1
 
dx
=
arctan
 
x
&int;1/{x^2+1} dx=arctan x
 
1.18
1
x
2
1
 
dx
=
1
2
·
ln
|
x
1
x
+
1
|
&int;1/{x^2-1} dx=1/2*ln|{x-1}/{x+1}|
 

2. Wurzelfunktionen:

2.1
x
 
dx
=
2
3
·
x
3
=
2
3
·
x
·
x
&int;§x dx=2/3*§x^3=2/3*x*§x
2.2
x
·
x
 
dx
=
2
5
·
x
5
=
2
5
·
x
2
·
x
&int;x*§x dx=2/5*§x^5=2/5*x^2*§x
 
2.3
1
x
 
dx
=
2
·
x
&int;1/§x dx=2*§x
 
2.4
1
x
 
x
 
dx
=
2
x
&int;1/{x §x} dx=-2/§x
 
2.5
ax
+
b
 
dx
=
2
3a
·
(
ax
+
b
)
3
&int;§{ax+b} dx=2/3a*§(ax+b)^3
 
2.6
x
·
ax
+
b
 
dx
=
2
·
(
3ax
2b
)
15a
2
·
(
ax
+
b
)
3
&int;x*§{ax+b} dx={2*(3ax-2b)}/{15a^2}*§(ax+b)^3
 
2.7
ax
+
b
x
 
dx
=
2
·
ax
+
b
+
b
·
1
x
·
ax
+
b
 
dx
&int;§{ax+b}/x dx=2*§{ax+b}+b*&int;1/{x*§{ax+b}} dx
(siehe 2.10)
2.8
1
ax
+
b
 
dx
=
2
a
·
ax
+
b
&int;1/§{ax+b} dx=2/a*§{ax+b}
 
2.9
x
ax
+
b
 
dx
=
2
·
(
ax
2b
)
3a
2
·
ax
+
b
&int;x/§{ax+b} dx={2*(ax-2b)}/{3a^2}*§{ax+b}
 
2.10
1
x
·
ax
+
b
 
dx
=
1
b
·
ln
|
ax
+
b
b
ax
+
b
+
b
|
&int;1/{x*§{ax+b}} dx=1/§b*ln|{§{ax+b}-§b}/{§{ax+b}+§b}|
bei 
b
>
0
 
 
 
=
2
b
·
arctan
ax
+
b
b
\ =2/§-b*arctan{§{{ax+b}/-b}}
bei 
b
<
0
2.11
1
x
n
·
ax
+
b
 
dx
=
ax
+
b
(
n
1
)
·
b
·
x
n
1
(
2n
3
)
·
a
(
2n
2
)
·
b
·
1
x
n
1
·
ax
+
b
 
dx
&int;1/{x^n*§{ax+b}} dx=-{§{ax+b}}/{(n-1)*b*x^{n-1}} - {(2n-3)*a}/{(2n-2)*b}*&int;1/{x^{n-1}*§{ax+b}} dx
(führt letztlich auf 2.10)
2.12
a
2
x
2
 
dx
=
x
2
·
a
2
x
2
+
a
2
2
·
arcsin
 
x
a
&int;§{a^2-x^2} dx=x/2*§{a^2-x^2}+{a^2}/2*arcsin x/a
 
2.13
x
2
±
a
2
 
dx
=
x
2
·
x
2
±
a
2
±
a
2
2
·
ln
|
x
+
x
2
±
a
2
|
&int;§{x^2+-a^2} dx=x/2*§{x^2+-a^2}+-{a^2}/2*ln|x+§{x^2+-a^2}|
 
2.14
x
·
a
2
x
2
 
dx
=
1
3
·
(
a
2
x
2
)
3
&int;x*§{a^2-x^2} dx=-1/3*§(a^2-x^2)^3
 
2.15
x
·
x
2
±
a
2
 
dx
=
1
3
·
(
x
2
±
a
2
)
3
&int;x*§{x^2+-a^2} dx=1/3*§(x^2+-a^2)^3
 
2.16
x
2
a
2
x
 
dx
=
x
2
a
2
a
·
arccos
 
a
x
&int;§{x^2-a^2}/x dx=§{x^2-a^2} - a*arccos a/x
 
2.17
a
2
±
x
2
x
 
dx
=
a
2
±
x
2
a
·
ln
|
a
+
a
2
±
x
2
x
|
&int;§{a^2+-x^2}/x dx=§{a^2+-x^2}-a*ln|{a+§{a^2+-x^2}}/x|
 
2.18
1
a
2
x
2
 
dx
=
arcsin
 
x
a
&int;1/§{a^2-x^2} dx=arcsin x/a
 
2.19
1
x
2
±
a
2
 
dx
=
ln
|
x
+
x
2
±
a
2
|
&int;1/§{x^2+-a^2} dx=ln|x+§{x^2+-a^2}|
 
2.20
x
a
2
x
2
 
dx
=
a
2
x
2
&int;x/§{a^2-x^2} dx=-§{a^2-x^2}
 
2.21
x
x
2
±
a
2
 
dx
=
x
2
±
a
2
&int;x/§{x^2+-a^2} dx=§{x^2+-a^2}
 
2.22
1
x
 
x
2
a
2
 
dx
=
1
a
·
arccos
 
a
x
&int;1/{x §{x^2-a^2}} dx=1/a*arccos a/x
 
2.23
1
x
 
a
2
±
x
2
 
dx
=
1
a
·
ln
|
a
+
a
2
±
x
2
x
|
&int;1/{x §{a^2+-x^2}} dx=-1/a*ln|{a+§{a^2+-x^2}}/x|
 
2.24
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
=
2ax
+
b
4a
·
ax
2
+
bx
+
c
+
4ac
b
2
8a
·
1
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
&int;§{ax^2+bx+c} dx={2ax+b}/4a*§{ax^2+bx+c}+{4ac-b^2}/8a*&int;1/§{ax^2+bx+c} dx
(siehe 2.26)
2.25
x
·
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
=
1
3a
·
(
ax
2
+
bx
+
c
)
3
2abx
+
b
2
8a
2
·
ax
2
+
bx
+
c
4abc
b
3
16a
2
·
1
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
&int;x*§{ax^2+bx+c} dx=1/3a*§(ax^2+bx+c)^3-{2abx+b^2}/8a^2*§{ax^2+bx+c}-{4abc-b^3}/16a^2*&int;1/§{ax^2+bx+c} dx
2.26
1
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
=
1
a
·
ln
|
2
·
a
·
(
ax
2
+
bx
+
c
)
+
2ax
+
b
|
&int;1/§{ax^2+bx+c} dx=1/§a*ln|2*§{a*(ax^2+bx+c)} + 2ax + b|
bei 
a
>
0
 
 
 
=
1
a
·
ln
|
2ax
+
b
|
\ =1/§a*ln|2ax+b|
bei 
a
>
0
4ac
=
b
2
 
 
 
=
1
a
·
arcsin
 
2ax
+
b
b
2
4ac
\ =-1/§ -a*arcsin {2ax+b}/§{b^2-4ac}
bei 
a
<
0
4ac
<
b
2
2.27
x
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
=
1
a
·
ax
2
+
bx
+
c
b
2a
·
1
ax
2
+
bx
+
c
 
dx
&int;x/§{ax^2+bx+c} dx=1/a*§{ax^2+bx+c}-b/2a*&int;1/§{ax^2+bx+c} dx
(siehe 2.26)

3. Sinusfunktionen:

3.1
sin
 
x
 
dx
=
cos
 
x
&int;sin {x} dx=-cos x
3.2
sin
 
ax
 
dx
=
1
a
·
cos
 
ax
&int;sin ax dx=-1/a*cos ax
 
3.3
sin
2
 
ax
 
dx
=
x
2
1
4a
·
sin
 
2ax
&int;sin^2 ax dx=x/2-1/4a*sin 2ax
 
3.4
sin
n
 
ax
 
dx
=
sin
n
1
ax
·
cos
 
ax
n
·
a
+
n
1
n
·
sin
n
2
ax
 
dx
&int;sin^n ax dx=-{sin^{n-1}ax*cos ax}/{n*a}+{n-1}/n*&int;sin^{n-2}ax dx
(n
Ν
 
,
 
n
2
; führt letztlich auf 3.2)
3.5
x
·
sin
 
ax
 
dx
=
sin
 
ax
a
2
x
·
cos
 
ax
a
&int;x*sin ax dx={sin ax}/a^2-{x*cos ax}/a
 
3.6
x
n
·
sin
 
ax
 
dx
=
x
n
a
·
cos
 
ax
+
n
a
·
x
n
1
·
cos
 
ax
 
dx
&int;x^n*sin ax dx=-{x^n}/a*cos ax+n/a*&int;{x^{n-1}*cos ax} dx
(n
Ν
 
,
 
n
1
; siehe 4.6)
3.7
1
sin
 
ax
 
dx
=
1
a
·
ln
|
tan
 
ax
2
|
&int;1/sin ax dx=1/a*ln|tan ax/2|
 
3.8
1
sin
2
 
ax
 
dx
=
1
a
·
cot
 
ax
=
1
a
·
tan
 
ax
&int;1/sin^2 ax dx=-1/a*cot ax=-1/{a*tan ax}
 
3.9
1
sin
n
 
ax
 
dx
=
1
a
·
(
n
1
)
·
cos
 
ax
sin
n
1
 
ax
+
n
2
n
1
·
1
sin
n
2
 
ax
 
dx
&int;1/ sin^n ax dx=-1/{a*(n-1)}*cos ax/sin^{n-1} ax+{n-2}/{n-1}*&int;1/sin^{n-2} ax dx
(n
Ν
 
,
 
n
2
; führt letztlich auf 3.7)
3.10
1
1
±
sin
 
ax
 
dx
=
1
a
·
tan
(
ax
2
±
π
4
)
&int;1/{1+-sin ax} dx=1/a*tan(ax/2-{+-%p}/4)
 
3.11
sin
 
ax
1
±
sin
 
ax
 
dx
=
±
x
+
1
a
·
tan
(
π
4
±
ax
2
)
&int;{sin ax}/{1+-sin ax} dx=+-x+1/a*tan(%p/4 - {+-ax}/2)
 
3.12
x
1
+
sin
 
ax
 
dx
=
x
a
·
tan
(
π
4
ax
2
)
+
2
a
2
·
ln
|
cos
(
π
4
ax
2
)
|
&int;x/{1+sin ax} dx=-x/a*tan(%p/4 - ax/2) + 2/{a^2}*ln|cos(%p/4 - ax/2)|
 
3.13
x
1
sin
 
ax
 
dx
=
x
a
·
cot
(
π
4
ax
2
)
+
2
a
2
·
ln
|
sin
(
π
4
ax
2
)
|
&int;x/{1-sin ax} dx=x/a*cot(%p/4 - ax/2) + 2/{a^2}*ln|sin(%p/4 - ax/2)|
 
3.14
sin
 
ax
·
sin
 
bx
 
dx
=
sin
(
ax
bx
)
2
·
(
a
b
)
sin
(
ax
+
bx
)
2
·
(
a
+
b
)
&int;sin ax*sin bx dx={sin(ax-bx)}/{2*(a-b)}-{sin(ax+bx)}/{2*(a+b)}
(
|
a
|
|
b
|
)

4. Cosinusfunktionen:

4.1
cos
 
x
 
dx
=
sin
 
x
&int;cos x dx=sin x
4.2
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
sin
 
ax
&int;cos ax dx=1/a*sin ax
 
4.3
cos
2
 
ax
 
dx
=
x
2
+
1
4a
·
sin
 
2ax
&int;cos^2 ax dx=x/2+1/4a*sin 2ax
 
4.4
cos
n
 
ax
 
dx
=
cos
n
1
ax
·
sin
 
ax
n
·
a
+
n
1
n
·
cos
n
2
ax
 
dx
&int;cos^n ax dx={cos^{n-1}ax*sin ax}/{n*a}+{n-1}/n*&int;cos^{n-2}ax dx
(n
Ν
 
,
 
n
2
; führt letztlich auf 4.2)
4.5
x
·
cos
 
ax
 
dx
=
cos
 
ax
a
2
+
x
·
sin
 
ax
a
&int;x*cos ax dx={cos ax}/a^2+{x*sin {ax}}/a
 
4.6
x
n
·
cos
 
ax
 
dx
=
x
n
a
·
sin
 
ax
n
a
·
x
n
1
·
sin
 
ax
 
dx
&int;x^n*cos ax dx={x^n}/a*sin ax-n/a*&int;x^{n-1}*sin ax dx
(n
Ν
 
,
 
n
1
; siehe 3.6)
4.7
1
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
ln
|
tan
 
(
ax
2
+
π
4
)
|
&int;1/cos ax dx=1/a*ln|tan (ax/2+%p/4)|
 
4.8
1
cos
2
 
ax
 
dx
=
1
a
·
tan
 
ax
&int;1/cos^2 ax dx=1/a*tan ax
 
4.9
1
cos
n
 
ax
 
dx
=
1
a
·
(
n
1
)
·
sin
 
ax
cos
n
1
 
ax
+
n
2
n
1
·
1
cos
n
2
 
ax
 
dx
&int;1/cos^n ax dx=1/{a*(n-1)}*{sin ax}/cos^{n-1} ax+{n-2}/{n-1}*&int;1/cos^{n-2} ax dx
(n
Ν
 
,
 
n
2
; führt letztlich auf 4.7)
4.10.1
1
1
+
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
tan
 
ax
2
&int;1/{1+cos ax} dx=1/a*tan ax/2
 
4.10.2
1
1
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
cot
 
ax
2
=
1
a
·
tan
 
ax
2
&int;1/{1-cos ax} dx=-1/a*cot ax/2=-1/{a*tan ax/2}
 
4.11.1
cos
 
ax
1
+
cos
 
ax
 
dx
=
x
1
a
·
tan
 
ax
2
&int;{cos ax}/{1+cos ax} dx=x-1/a*tan ax/2
 
4.11.2
cos
 
ax
1
cos
 
ax
 
dx
=
x
1
a
·
cot
 
ax
2
=
x
1
a
·
tan
 
ax
2
&int;{cos ax}/{1-cos ax} dx=-x-1/a*cot ax/2=-x-1/{a*tan ax/2}
 
4.12
x
1
+
cos
 
ax
 
dx
=
x
a
·
tan
 
ax
2
+
2
a
2
·
ln
|
cos
ax
2
|
&int;x/{1+cos ax} dx=x/a*tan ax/2 + 2/{a^2}*ln|cos{ax/2}|
 
4.13
x
1
cos
 
ax
 
dx
=
x
a
·
cot
 
ax
2
+
2
a
2
·
ln
|
sin
 
ax
2
|
&int;x/{1-cos ax} dx=-x/a*cot ax/2 + 2/a^2*ln|sin ax/2|
 
4.14
cos
 
ax
·
cos
 
bx
 
dx
=
sin
(
ax
bx
)
2
·
(
a
b
)
+
sin
(
ax
+
bx
)
2
·
(
a
+
b
)
&int;cos ax*cos bx dx={sin(ax-bx)}/{2*(a-b)}+{sin(ax+bx)}/{2*(a+b)}
(
|
a
|
|
b
|
)

5. Sinus- und Cosinusfunktionen gemischt:

5.1
sin
 
ax
·
cos
 
ax
 
dx
=
1
2a
·
sin
2
 
ax
&int;sin ax*cos ax dx=1/2a*sin^2 ax
5.2
sin
2
 
ax
·
cos
2
 
ax
 
dx
=
x
8
sin
 
4ax
32a
&int;sin^2 ax*cos^2 ax dx=x/8 - {sin 4ax}/32a
 
5.3
sin
n
 
ax
·
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
(
n
+
1
)
·
sin
n
+
1
 
ax
&int;sin^n ax*cos ax dx=1/{a*(n+1)}*sin^{n+1} ax
(n
1)
5.4
sin
 
ax
·
cos
n
 
ax
 
dx
=
1
a
·
(
n
+
1
)
·
cos
n
+
1
 
ax
&int;sin ax*cos^n ax dx=-1/{a*(n+1)}*cos^{n+1} ax
(n
1)
\(n<>-1\)
5.5
sin
n
 
ax
cos
 
ax
 
dx
=
sin
n
1
 
ax
a
·
(
n
1
)
+
sin
n
2
 
ax
cos
 
ax
 
dx
&int;{sin^n ax}/cos ax dx=-{sin^{n-1} ax}/{a*(n-1)} + &int;{sin^{n-2} ax}/cos ax dx
(n
1
; führt letztlich zu 4.7 oder 6.2)
5.6
cos
n
 
ax
sin
 
ax
 
dx
=
cos
n
1
 
ax
a
·
(
n
1
)
+
cos
n
2
 
ax
sin
 
ax
 
dx
&int;{cos^n ax}/sin ax dx={cos^{n-1} ax}/{a*(n-1)} + &int;{cos^{n-2} ax}/sin ax dx
(n
1
; führt letztlich zu 3.7 oder 7.2)
5.7
1
sin
 
ax
·
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
ln
|
tan
 
ax
|
&int;1/{sin ax*cos ax} dx=1/a*ln|tan ax|
 
5.8
1
sin
 
ax
±
cos
 
ax
 
dx
=
1
a
·
2
·
ln
|
tan
(
ax
2
±
π
8
)
|
&int;1/{sin ax+-cos ax} dx=1/{a*§2}*ln|tan(ax/2 +- %p/8)|
 
5.9
sin
 
ax
sin
 
ax
±
cos
 
ax
 
dx
=
x
2
±
1
2a
·
ln
|
sin
 
ax
±
cos
 
ax
|
&int;{sin ax}/{sin ax+-cos ax} dx=x/2 - {+-1}/2a*ln|sin ax +- cos ax|
 
5.10
cos
 
ax
sin
 
ax
±
cos
 
ax
 
dx
=
±
x
2
+
1
2a
·
ln
|
sin
 
ax
±
cos
 
ax
|
&int;{cos ax}/{sin ax+-cos ax} dx=+-x/2 + 1/2a*ln|sin ax +- cos ax|
 
5.11
sin
 
ax
b
·
cos
 
ax
+
c
 
dx
=
1
ab
·
ln
|
b
·
cos
 
ax
+
c
|
&int;{sin ax}/{b*cos ax+c} dx=-1/ab*ln|b*cos ax+c|
 
5.12
cos
 
ax
b
·
sin
 
ax
+
c
 
dx
=
1
ab
·
ln
|
b
·
sin
 
ax
+
c
|
&int;{cos ax}/{b*sin ax+c} dx=1/ab*ln|b*sin {ax}+c|
 
5.13
sin
 
ax
·
cos
 
bx
 
dx
=
cos
(
ax
bx
)
2
·
(
a
b
)
cos
(
ax
+
bx
)
2
·
(
a
+
b
)
&int;sin ax*cos bx dx=-{cos(ax-bx)}/{2*(a-b)} - {cos(ax+bx)}/{2*(a+b)}
(
|
a
|
|
b
|
)
\(|a|<>|b|\)

6. Tangensfunktionen:

6.1
tan
 
x
 
dx
=
ln
|
cos
 
x
|
&int;tan x dx=-ln|cos x|
6.2
tan
 
ax
 
dx
=
1
a
·
ln
|
cos
 
ax
|
&int;tan ax dx=-1/a*ln|cos ax|
 
6.3
tan
2
 
ax
 
dx
=
tan
 
ax
a
x
&int;tan^2 ax dx={tan ax}/a-x
 
6.4
tan
n
 
ax
 
dx
=
1
a
·
(
n
1
)
·
tan
n
1
 
ax
 
tan
n
2
 
ax
 
dx
&int;tan^n ax dx=1/{a*(n-1)}*tan^{n-1} ax - &int; tan^{n-2} ax dx
(führt letztlich zu 6.2 oder 6.3)
6.5
1
tan
 
ax
±
1
 
dx
=
±
x
2
+
1
2a
·
ln
|
sin
 
ax
±
cos
 
ax
|
&int;1/{tan ax+-1} dx=+-x/2+1/2a*ln|sin ax+-cos ax|
 
6.6
tan
 
ax
tan
 
ax
±
1
 
dx
=
x
2
±
1
2a
·
ln
|
sin
 
ax
±
cos
 
ax
|
&int;{tan ax}/{tan ax+-1} dx=x/2-{+-1}/2a*ln|sin ax+-cos ax|
 

7. Cotangensfunktionen:

7.1
cot
 
x
 
dx
=
ln
|
sin
 
x
|
&int;cot x dx=ln|sin x|
7.2
cot
 
ax
 
dx
=
1
a
·
ln
|
sin
 
ax
|
&int;cot ax dx=1/a*ln|sin ax|
 
7.3
cot
2
 
ax
 
dx
=
cot
 
ax
a
x
&int;cot^2 ax dx=-{cot ax}/a-x
 
7.4
cot
n
 
ax
 
dx
=
1
a
·
(
n
1
)
·
cot
n
1
 
ax
cot
n
2
 
ax
 
dx
&int;cot^n ax dx=-1/{a*(n-1)}*cot^{n-1} ax - &int;cot^{n-2} ax dx
(führt letztlich zu 7.2 oder 7.3)
7.5
1
1
±
cot
 
ax
 
dx
=
tan
 
ax
tan
 
ax
±
1
 
dx
&int;1/{1+-cot ax} dx=&int;{tan ax}/{tan ax+-1} dx
(siehe 6.6)

8. Exponentialfunktionen:

8.1
e
x
 
dx
=
e
x
&int;e^x dx=e^x
8.2
e
ax
 
dx
=
1
a
·
e
ax
&int;e^ax dx=1/a*e^ax
 
8.3
x
·
e
ax
 
dx
=
e
ax
a
2
·
(
ax
1
)
&int;x*e^ax dx={e^ax}/a^2*(ax-1)
 
8.4
x
n
·
e
ax
 
dx
=
1
a
·
x
n
·
e
ax
n
a
·
x
n
1
·
e
ax
 
dx
&int;x^n*e^ax dx=1/a*x^n*e^ax - n/a*&int;x^{n-1}*e^ax dx
(führt letztlich zu 8.3)
8.5
1
b
·
e
ax
+
c
 
dx
=
x
c
1
ac
·
ln
|
b
·
e
ax
+
c
|
&int;1/{b*e^ax+c} dx=x/c-1/ac*ln|b*e^ax+c|
 
8.6
e
ax
b
·
e
ax
+
c
 
dx
=
1
ab
·
ln
|
b
·
e
ax
+
c
|
&int;{e^ax}/{b*e^ax+c} dx=1/ab*ln|b*e^ax+c|
 

9. Logarithmusfunktionen:

9.1
ln
 
x
 
dx
=
x
·
ln
 
x
x
=
x
·
(
ln
 
x
1
)
&int;ln x dx=x*ln x-x=x*(ln x-1)
9.2
(
ln
 
x
)
2
 
dx
=
x
·
(
ln
 
x
)
2
2
 
x
·
ln
 
x
+
2
 
x
&int;(ln x)^2 dx=x*(ln x)^2 - 2 x*ln x + 2 x
 
9.3
(
ln
 
x
)
n
 
dx
=
x
·
(
ln
 
x
)
n
n
·
(
ln
 
x
)
n
1
 
dx
&int;(ln x)^n dx=x*(ln x)^n - n*&int;(ln x)^{n-1} dx
(n
1
; führt letztlich zu 9.1)
9.4
x
m
·
ln
 
x
 
dx
=
x
m
+
1
·
[
ln
 
x
m
+
1
1
(
m
+
1
)
2
]
&int;x^m*ln x dx=x^{m+1}*[{ln x}/{m+1} - 1/(m+1)^2]
(m
1)
9.5
(
ln
 
x
)
n
x
 
dx
=
(
ln
 
x
)
n
+
1
n
+
1
&int;{(ln x)^n}/x dx={(ln x)^{n+1}}/{n+1}
 
9.6
ln
 
x
x
m
 
dx
=
ln
 
x
(
m
1
)
·
x
m
1
1
(
m
1
)
2
·
x
m
1
 
&int;{ln x}/x^m dx=-{ln x}/{(m-1)*x^{m-1}} - 1/{(m-1)^2*x^{m-1}}
(m
1)
9.7
(
ln
 
x
)
n
x
m
 
dx
=
(
ln
 
x
)
n
(
m
1
)
·
x
m
1
+
n
m
1
·
(
ln
 
x
)
n
1
x
m
 
dx
&int;{(ln {x})^n}/{x^m} dx=-{(ln x)^n}/{(m-1)*x^{m-1}} + n/{m-1}*&int;{(ln x)^{n-1}}/x^m dx
(m
1
; führt letztlich zu 9.6)
9.8
1
x
·
ln
 
x
 
dx
=
ln
 
ln
 
x
&int;1/{x*ln x} dx=ln ln x
 
9.9
1
x
·
(
ln
 
x
)
n
 
dx
=
1
(
n
1
)
·
(
ln
 
x
)
n
1
&int;1/{x*(ln x)^n} dx=-1/{(n-1)*(ln x)^{n-1}}
(n
1)

10. Inverse trigonometrische Funktionen (Arcus-Funktionen):

10.1.1
arcsin
 
x
 
dx
=
x
·
arcsin
 
x
+
1
x
2
&int;arcsin x dx=x*arcsin x+§{1-x^2}
10.1.2
arccos
 
x
 
dx
=
x
·
arccos
 
x
1
x
2
&int;arccos x dx=x*arccos x-§{1-x^2}
 
10.1.3
arctan
 
x
 
dx
=
x
·
arctan
 
x
1
2
·
ln
(
1
+
x
2
)
&int;arctan x dx=x*arctan x-1/2*ln(1+x^2)
 
10.1.4
arccot
 
x
 
dx
=
x
·
arccot
 
x
+
1
2
·
ln
(
1
+
x
2
)
&int;arccot x dx=x*arccot x+1/2*ln(1+x^2)
 
10.2
arcsin
 
x
a
 
dx
=
x
·
arcsin
 
x
a
+
a
2
x
2
&int;arcsin x/a dx=x*arcsin x/a+§{a^2-x^2}
 
10.3
x
·
arcsin
 
x
a
 
dx
=
(
x
2
2
a
2
4
)
·
arcsin
 
x
a
+
x
4
·
a
2
x
2
&int;x*arcsin x/a dx=({x^2}/2-{a^2}/4)*arcsin x/a+x/4*§{a^2-x^2}
 
10.4
arccos
 
x
a
 
dx
=
x
·
arccos
 
x
a
a
2
x
2
&int;arccos x/a dx=x*arccos x/a-§{a^2-x^2}
 
10.5
x
·
arccos
 
x
a
 
dx
=
(
x
2
2
a
2
4
)
·
arccos
 
x
a
x
4
·
a
2
x
2
&int;x*arccos x/a dx=({x^2}/2-{a^2}/4)*arccos x/a-x/4*§{a^2-x^2}
 
10.6
arctan
 
x
a
 
dx
=
x
·
arctan
 
x
a
a
2
·
ln
(
a
2
+
x
2
)
&int;arctan x/a dx=x*arctan x/a-a/2*ln(a^2+x^2)
 
10.7
x
·
arctan
 
x
a
 
dx
=
1
2
·
(
x
2
+
a
2
)
·
arctan
 
x
a
ax
2
&int;x*arctan x/a dx=1/2*(x^2+a^2)*arctan x/a-ax/2
 
10.8
arccot
 
x
a
 
dx
=
x
·
arccot
 
x
a
+
a
2
·
ln
(
a
2
+
x
2
)
&int;arccot x/a dx=x*arccot x/a+a/2*ln(a^2+x^2)
 
10.9
x
·
arccot
 
x
a
 
dx
=
1
2
·
(
x
2
+
a
2
)
·
arccot
 
x
a
+
ax
2
&int;x*arccot x/a dx=1/2*(x^2+a^2)*arccot x/a+ax/2
 

11. Hyperbelfunktionen:

11.1.1
sinh
 
x
 
dx
=
cosh
 
x
&int;sinh x dx=cosh x
11.1.2
cosh
 
x
 
dx
=
sinh
 
x
&int;cosh x dx=sinh x
 
11.1.3
tanh
 
x
 
dx
=
ln
 
cosh
 
x
&int;tanh x dx=ln cosh x
 
11.1.4
coth
 
x
 
dx
=
ln
 
sinh
 
x
&int;coth x dx=ln sinh x
 
11.2
sinh
 
ax
 
dx
=
1
a
·
cosh
 
ax
&int;sinh ax dx=1/a*cosh ax
 
11.3
sinh
2
 
ax
 
dx
=
1
4a
·
sinh
 
2ax
x
2
&int;sinh^2 ax dx=1/4a*sinh 2ax-x/2
 
11.4
1
sinh
 
ax
 
dx
=
1
a
·
ln
|
tanh
 
ax
2
|
&int;1/sinh ax dx=1/a*ln|tanh ax/2|
 
11.5
1
sinh
2
 
ax
 
dx
=
1
a
·
coth
 
ax
&int;1/sinh^2 ax dx=-1/a*coth ax
 
11.6
x
·
sinh
 
ax
 
dx
=
x
a
·
cosh
 
ax
1
a
2
·
sinh
 
ax
&int;x*sinh ax dx=x/a*cosh ax-1/a^2*sinh ax
 
11.7
sinh
 
ax
·
sinh
 
bx
 
dx
=
1
a
2
b
2
·
(
a
·
sinh
 
bx
·
cosh
 
ax
b
·
sinh
 
ax
·
cosh
 
bx
)
&int;sinh ax*sinh bx dx=1/{a^2-b^2}*(a*sinh bx*cosh ax-b*sinh ax*cosh bx)
(
 
|
a
|
|
b
|
 
)
11.8
cosh
 
ax
 
dx
=
1
a
·
sinh
 
ax
&int;cosh ax dx=1/a*sinh ax
 
11.9
cosh
2
 
ax
 
dx
=
1
4a
·
sinh
 
2ax
+
x
2
&int;cosh^2 ax dx=1/4a*sinh 2ax+x/2
 
11.10
1
cosh
 
ax
 
dx
=
2
a
·
arctan
 
e
ax
&int;1/cosh ax dx=2/a*arctan e^ax
 
11.11
1
cosh
2
 
ax
 
dx
=
1
a
·
tanh
 
ax
&int;1/cosh^2 ax dx=1/a*tanh ax
 
11.12
x
·
cosh
 
ax
 
dx
=
x
a
·
sinh
 
ax
1
a
2
·
cosh
 
ax
&int;x*cosh ax dx=x/a*sinh ax-1/a^2*cosh ax
 
11.13
cosh
 
ax
·
cosh
 
bx
 
dx
=
1
a
2
b
2
·
(
a
·
sinh
 
ax
·
cosh
 
bx
b
·
sinh
 
bx
·
cosh
 
ax
)
&int;cosh ax*cosh bx dx=1/{a^2-b^2}*(a*sinh ax*cosh bx-b*sinh bx*cosh ax)
(
 
|
a
|
|
b
|
 
)
11.14
tanh