Die Formeln werden mit dem Schriftsatz des Browsers angezeigt; im Gegensatz zu den sonst üblichen Formeln als Grafiken (meist GIF oder PNG). Man kann die Schriftgröße des Browsers beliebig ändern, um die Formeln ohne Lesbarkeitsverlust größer oder kleiner erscheinen zu lassen. Es sind keine »Plugins« oder »Addons« zur Ansicht nötig.
Sie können selbst solche Formeln mit PHP direkt in HTML erstellen. Sie finden eine Beschreibung dazu und die PHP-Skripte ► hier. Den Skript-Quellcode jeder Formel in der Integralformelsammlung bekommen Sie durch Berühren der Formel mit der Maus.
| 1.1 |
∫
x
n
dx
=
1
n
+
1
·
x
n
+
1 ∫x^n dx=1/{n+1}*x^{n+1} |
(
n
≠
−
1
) |
| 1.2 |
∫
(
ax
+
b
)
n
dx
=
1
a
(
n
+
1
)
·
(
ax
+
b
)
n
+
1 ∫(ax+ b)^n dx=1/{a(n+1)}*(ax+b)^{n+1} |
(
n
≠
−
1
) |
| 1.3 |
∫
x
·
(
ax
+
b
)
n
dx
=
1
a
2
·
(
n
+
2
)
·
(
ax
+
b
)
n
+
2
−
b
a
2
·
(
n
+
1
)
·
(
ax
+
b
)
n
+
1 ∫x*(ax+b)^n dx=1/{{a^2}*(n+2)}*(ax+b)^{n+2} - b/{{a^2}*(n+1)}*(ax+b)^{n+1} |
(
n
≠
−
1
) |
| 1.4 |
∫
1
x
dx
=
ln
|
x
| ∫1/x dx=ln |x| |
|
| 1.5 |
∫
1
ax
+
b
dx
=
1
a
·
ln
|
ax
+
b
| ∫1/{ax+b} dx=1/a*ln |ax+b| |
|
| 1.6 |
∫
x
ax
+
b
dx
=
x
a
−
b
a
2
·
ln
|
ax
+
b
| ∫x/{ax+b} dx=x/a-b/{a^2}*ln |ax+b| |
|
| 1.7 |
∫
1
x
·
(
ax
+
b
)
dx
=
−
1
b
·
ln
|
ax
+
b
x
| ∫1/{x*(ax+b)} dx=-1/b*ln {|{ax+b}/x|} |
|
| 1.8 |
∫
ax
+
b
cx
+
d
dx
=
ax
c
+
bc
−
ad
c
2
·
ln
|
cx
+
d
| ∫{ax+b}/{cx+d} dx=ax/c+{bc-ad}/{c^2}*ln |{cx+d}| |
|
| 1.9 |
∫
1
(
ax
+
b
)
(
cx
+
d
)
dx
=
−
1
bc
−
ad
·
ln
|
cx
+
d
ax
+
b
| ∫1/{(ax+b)(cx+d)} dx=-1/{bc-ad}*ln |{cx+d}/{ax+b}| |
(
bc
≠
ad
) |
| 1.10 |
∫
1
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
2
√
4ac
−
b
2
·
arctan
(
2ax
+
b
√
4ac
−
b
2
) ∫1/{ax^2+bx+c} dx=2/§4ac-b^2*arctan({2ax+b}/§4ac-b^2) |
bei
4ac
>
b
2 |
|
=
−
2
2ax
+
b \ =-2/{2ax+b} |
bei
4ac
=
b
2 | |
|
=
1
√
b
2
−
4ac
·
ln
|
2ax
+
b
−
√
b
2
−
4ac
2ax
+
b
+
√
b
2
−
4ac
|
=
2
√
b
2
−
4ac
·
arctanh
(
2ax
+
b
√
b
2
−
4ac
) \ =1/§b^2-4ac*ln|{2ax+b-§b^2-4ac}/{2ax+b+§b^2-4ac}|=2/§b^2-4ac*arctanh({2ax+b}/§b^2-4ac) |
bei
4ac
<
b
2 | |
| 1.11 |
∫
x
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
1
2a
·
ln
|
ax
2
+
bx
+
c
|
−
b
2a
·
∫
1
ax
2
+
bx
+
c
dx ∫x/{ax^2+bx+c} dx=1/2a*ln|ax^2+bx+c|-b/2a*∫1/{ax^2+bx+c}dx |
(siehe 1.10) |
| 1.12 |
∫
1
x
·
(
ax
2
+
bx
+
c
)
dx
=
1
2c
·
ln
(
x
2
ax
2
+
bx
+
c
)
−
b
2c
·
∫
1
ax
2
+
bx
+
c
dx ∫1/{x*(ax^2+bx+c)} dx=1/2c*ln({x^2}/{ax^2+bx+c})-b/2c*∫1/{ax^2+bx+c} dx |
(siehe 1.10) |
| 1.13 |
∫
1
a
2
+
x
2
dx
=
1
a
·
arctan
x
a ∫1/{a^2+x^2} dx=1/a*arctan x/a |
|
| 1.14 |
∫
1
a
2
−
x
2
dx
=
1
2
·
ln
|
a
+
x
a
−
x
| ∫1/{a^2-x^2} dx=1/2*ln|{a+x}/{a-x}| |
|
| 1.15 |
∫
x
a
2
±
x
2
dx
=
±
1
2
·
ln
|
a
2
±
x
2
| ∫x/{a^2+-x^2} dx=+-1/2*ln|a^2+-x^2| |
|
| 1.16 |
∫
1
x
·
(
a
2
±
x
2
)
dx
=
1
2a
2
·
ln
|
x
2
a
2
±
x
2
| ∫1/{x*(a^2+-x^2)} dx=1/{2a^2}*ln|{x^2}/{a^2+-x^2}| |
|
| 1.17 |
∫
1
x
2
+
1
dx
=
arctan
x ∫1/{x^2+1} dx=arctan x |
|
| 1.18 |
∫
1
x
2
−
1
dx
=
1
2
·
ln
|
x
−
1
x
+
1
| ∫1/{x^2-1} dx=1/2*ln|{x-1}/{x+1}| |
| 2.1 |
∫
√
x
dx
=
2
3
·
√
x
3
=
2
3
·
x
·
√
x ∫§x dx=2/3*§x^3=2/3*x*§x | |
| 2.2 |
∫
x
·
√
x
dx
=
2
5
·
√
x
5
=
2
5
·
x
2
·
√
x ∫x*§x dx=2/5*§x^5=2/5*x^2*§x |
|
| 2.3 |
∫
1
√
x
dx
=
2
·
√
x ∫1/§x dx=2*§x |
|
| 2.4 |
∫
1
x
√
x
dx
=
−
2
√
x ∫1/{x §x} dx=-2/§x |
|
| 2.5 |
∫
√
ax
+
b
dx
=
2
3a
·
√
(
ax
+
b
)
3 ∫§{ax+b} dx=2/3a*§(ax+b)^3 |
|
| 2.6 |
∫
x
·
√
ax
+
b
dx
=
2
·
(
3ax
−
2b
)
15a
2
·
√
(
ax
+
b
)
3 ∫x*§{ax+b} dx={2*(3ax-2b)}/{15a^2}*§(ax+b)^3 |
|
| 2.7 |
∫
√
ax
+
b
x
dx
=
2
·
√
ax
+
b
+
b
·
∫
1
x
·
√
ax
+
b
dx ∫§{ax+b}/x dx=2*§{ax+b}+b*∫1/{x*§{ax+b}} dx |
(siehe 2.10) |
| 2.8 |
∫
1
√
ax
+
b
dx
=
2
a
·
√
ax
+
b ∫1/§{ax+b} dx=2/a*§{ax+b} |
|
| 2.9 |
∫
x
√
ax
+
b
dx
=
2
·
(
ax
−
2b
)
3a
2
·
√
ax
+
b ∫x/§{ax+b} dx={2*(ax-2b)}/{3a^2}*§{ax+b} |
|
| 2.10 |
∫
1
x
·
√
ax
+
b
dx
=
1
√
b
·
ln
|
√
ax
+
b
−
√
b
√
ax
+
b
+
√
b
| ∫1/{x*§{ax+b}} dx=1/§b*ln|{§{ax+b}-§b}/{§{ax+b}+§b}| |
bei
b
>
0 |
|
=
2
√
−
b
·
arctan
√
ax
+
b
−
b \ =2/§-b*arctan{§{{ax+b}/-b}} |
bei
b
<
0 | |
| 2.11 |
∫
1
x
n
·
√
ax
+
b
dx
=
−
√
ax
+
b
(
n
−
1
)
·
b
·
x
n
−
1
−
(
2n
−
3
)
·
a
(
2n
−
2
)
·
b
·
∫
1
x
n
−
1
·
√
ax
+
b
dx ∫1/{x^n*§{ax+b}} dx=-{§{ax+b}}/{(n-1)*b*x^{n-1}} - {(2n-3)*a}/{(2n-2)*b}*∫1/{x^{n-1}*§{ax+b}} dx |
(führt letztlich auf 2.10) |
| 2.13 |
∫
√
x
2
±
a
2
dx
=
x
2
·
√
x
2
±
a
2
±
a
2
2
·
ln
|
x
+
√
x
2
±
a
2
| ∫§{x^2+-a^2} dx=x/2*§{x^2+-a^2}+-{a^2}/2*ln|x+§{x^2+-a^2}| |
|
| 2.12 |
∫
√
a
2
−
x
2
dx
=
x
2
·
√
a
2
−
x
2
+
a
2
2
·
arcsin
x
a ∫§{a^2-x^2} dx=x/2*§{a^2-x^2}+{a^2}/2*arcsin x/a |
|
| 2.13 |
∫
√
x
2
±
a
2
dx
=
x
2
·
√
x
2
±
a
2
±
a
2
2
·
ln
|
x
+
√
x
2
±
a
2
| ∫§{x^2+-a^2} dx=x/2*§{x^2+-a^2}+-{a^2}/2*ln|x+§{x^2+-a^2}| |
| 2.14 |
∫
x
·
√
a
2
−
x
2
dx
=
−
1
3
·
√
(
a
2
−
x
2
)
3 ∫x*§{a^2-x^2} dx=-1/3*§(a^2-x^2)^3 |
|
| 2.15 |
∫
x
·
√
x
2
±
a
2
dx
=
1
3
·
√
(
x
2
±
a
2
)
3 ∫x*§{x^2+-a^2} dx=1/3*§(x^2+-a^2)^3 |
|
| 2.16 |
∫
√
x
2
−
a
2
x
dx
=
√
x
2
−
a
2
−
a
·
arccos
a
x ∫§{x^2-a^2}/x dx=§{x^2-a^2} - a*arccos a/x |
|
| 2.17 |
∫
√
a
2
±
x
2
x
dx
=
√
a
2
±
x
2
−
a
·
ln
|
a
+
√
a
2
±
x
2
x
| ∫§{a^2+-x^2}/x dx=§{a^2+-x^2}-a*ln|{a+§{a^2+-x^2}}/x| |
|
| 2.18 |
∫
1
√
a
2
−
x
2
dx
=
arcsin
x
a ∫1/§{a^2-x^2} dx=arcsin x/a |
|
| 2.19 |
∫
1
√
x
2
±
a
2
dx
=
ln
|
x
+
√
x
2
±
a
2
| ∫1/§{x^2+-a^2} dx=ln|x+§{x^2+-a^2}| |
|
| 2.20 |
∫
x
√
a
2
−
x
2
dx
=
−
√
a
2
−
x
2 ∫x/§{a^2-x^2} dx=-§{a^2-x^2} |
|
| 2.21 |
∫
x
√
x
2
±
a
2
dx
=
√
x
2
±
a
2 ∫x/§{x^2+-a^2} dx=§{x^2+-a^2} |
|
| 2.22 |
∫
1
x
√
x
2
−
a
2
dx
=
1
a
·
arccos
a
x ∫1/{x §{x^2-a^2}} dx=1/a*arccos a/x |
|
| 2.23 |
∫
1
x
√
a
2
±
x
2
dx
=
−
1
a
·
ln
|
a
+
√
a
2
±
x
2
x
| ∫1/{x §{a^2+-x^2}} dx=-1/a*ln|{a+§{a^2+-x^2}}/x| |
|
| 2.24 |
∫
√
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
2ax
+
b
4a
·
√
ax
2
+
bx
+
c
+
4ac
−
b
2
8a
·
∫
1
√
ax
2
+
bx
+
c
dx ∫§{ax^2+bx+c} dx={2ax+b}/4a*§{ax^2+bx+c}+{4ac-b^2}/8a*∫1/§{ax^2+bx+c} dx |
(siehe 2.26) |
| 2.25 |
∫
x
·
√
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
1
3a
·
√
(
ax
2
+
bx
+
c
)
3
−
2abx
+
b
2
8a
2
·
√
ax
2
+
bx
+
c
−
4abc
−
b
3
16a
2
·
∫
1
√
ax
2
+
bx
+
c
dx ∫x*§{ax^2+bx+c} dx=1/3a*§(ax^2+bx+c)^3-{2abx+b^2}/8a^2*§{ax^2+bx+c}-{4abc-b^3}/16a^2*∫1/§{ax^2+bx+c} dx |
|
| 2.26 |
∫
1
√
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
1
√
a
·
ln
|
2
·
√
a
·
(
ax
2
+
bx
+
c
)
+
2ax
+
b
| ∫1/§{ax^2+bx+c} dx=1/§a*ln|2*§{a*(ax^2+bx+c)} + 2ax + b| |
bei
a
>
0 |
|
=
1
√
a
·
ln
|
2ax
+
b
| \ =1/§a*ln|2ax+b| |
bei
a
>
0
∧
4ac
=
b
2 | |
|
=
−
1
√
−
a
·
arcsin
2ax
+
b
√
b
2
−
4ac \ =-1/§ -a*arcsin {2ax+b}/§{b^2-4ac} |
bei
a
<
0
∧
4ac
<
b
2 | |
| 2.27 |
∫
x
√
ax
2
+
bx
+
c
dx
=
1
a
·
√
ax
2
+
bx
+
c
−
b
2a
·
∫
1
√
ax
2
+
bx
+
c
dx ∫x/§{ax^2+bx+c} dx=1/a*§{ax^2+bx+c}-b/2a*∫1/§{ax^2+bx+c} dx |
(siehe 2.26) |
| 3.1 |
∫
sin
x
dx
=
−
cos
x ∫sin {x} dx=-cos x | |
| 3.2 |
∫
sin
ax
dx
=
−
1
a
·
cos
ax ∫sin ax dx=-1/a*cos ax |
|
| 3.3 |
∫
sin
2
ax
dx
=
x
2
−
1
4a
·
sin
2ax ∫sin^2 ax dx=x/2-1/4a*sin 2ax |
|
| 3.4 |
∫
sin
n
ax
dx
=
−
sin
n
−
1
ax
·
cos
ax
n
·
a
+
n
−
1
n
·
∫
sin
n
−
2
ax
dx ∫sin^n ax dx=-{sin^{n-1}ax*cos ax}/{n*a}+{n-1}/n*∫sin^{n-2}ax dx |
|
| 3.5 |
∫
x
·
sin
ax
dx
=
sin
ax
a
2
−
x
·
cos
ax
a ∫x*sin ax dx={sin ax}/a^2-{x*cos ax}/a |
|
| 3.6 |
∫
x
n
·
sin
ax
dx
=
−
x
n
a
·
cos
ax
+
n
a
·
∫
x
n
−
1
·
cos
ax
dx ∫x^n*sin ax dx=-{x^n}/a*cos ax+n/a*∫{x^{n-1}*cos ax} dx |
|
| 3.7 |
∫
1
sin
ax
dx
=
1
a
·
ln
|
tan
ax
2
| ∫1/sin ax dx=1/a*ln|tan ax/2| |
| 3.8 |
∫
1
sin
2
ax
dx
=
−
1
a
·
cot
ax
=
−
1
a
·
tan
ax ∫1/sin^2 ax dx=-1/a*cot ax=-1/{a*tan ax} |
|
| 3.9 |
∫
1
sin
n
ax
dx
=
−
1
a
·
(
n
−
1
)
·
cos
ax
sin
n
−
1
ax
+
n
−
2
n
−
1
·
∫
1
sin
n
−
2
ax
dx ∫1/ sin^n ax dx=-1/{a*(n-1)}*cos ax/sin^{n-1} ax+{n-2}/{n-1}*∫1/sin^{n-2} ax dx |
|
| 3.10 |
∫
1
1
±
sin
ax
dx
=
1
a
·
tan
(
ax
2
−
±
π
4
) ∫1/{1+-sin ax} dx=1/a*tan(ax/2-{+-%p}/4) |
|
| 3.11 |
∫
sin
ax
1
±
sin
ax
dx
=
±
x
+
1
a
·
tan
(
π
4
−
±
ax
2
) ∫{sin ax}/{1+-sin ax} dx=+-x+1/a*tan(%p/4 - {+-ax}/2) |
|
| 3.12 |
∫
x
1
+
sin
ax
dx
=
−
x
a
·
tan
(
π
4
−
ax
2
)
+
2
a
2
·
ln
|
cos
(
π
4
−
ax
2
)
| ∫x/{1+sin ax} dx=-x/a*tan(%p/4 - ax/2) + 2/{a^2}*ln|cos(%p/4 - ax/2)| |
|
| 3.13 |
∫
x
1
−
sin
ax
dx
=
x
a
·
cot
(
π
4
−
ax
2
)
+
2
a
2
·
ln
|
sin
(
π
4
−
ax
2
)
| ∫x/{1-sin ax} dx=x/a*cot(%p/4 - ax/2) + 2/{a^2}*ln|sin(%p/4 - ax/2)| |
|
| 3.14 |
∫
sin
ax
·
sin
bx
dx
=
sin
(
ax
−
bx
)
2
·
(
a
−
b
)
−
sin
(
ax
+
bx
)
2
·
(
a
+
b
) ∫sin ax*sin bx dx={sin(ax-bx)}/{2*(a-b)}-{sin(ax+bx)}/{2*(a+b)} |
(
|
a
|
≠
|
b
|
) |
| 4.1 |
∫
cos
x
dx
=
sin
x ∫cos x dx=sin x | |
| 4.2 |
∫
cos
ax
dx
=
1
a
·
sin
ax ∫cos ax dx=1/a*sin ax |
|
| 4.3 |
∫
cos
2
ax
dx
=
x
2
+
1
4a
·
sin
2ax ∫cos^2 ax dx=x/2+1/4a*sin 2ax |
|
| 4.4 |
∫
cos
n
ax
dx
=
cos
n
−
1
ax
·
sin
ax
n
·
a
+
n
−
1
n
·
∫
cos
n
−
2
ax
dx ∫cos^n ax dx={cos^{n-1}ax*sin ax}/{n*a}+{n-1}/n*∫cos^{n-2}ax dx |
|
| 4.5 |
∫
x
·
cos
ax
dx
=
cos
ax
a
2
+
x
·
sin
ax
a ∫x*cos ax dx={cos ax}/a^2+{x*sin {ax}}/a |
|
| 4.6 |
∫
x
n
·
cos
ax
dx
=
x
n
a
·
sin
ax
−
n
a
·
∫
x
n
−
1
·
sin
ax
dx ∫x^n*cos ax dx={x^n}/a*sin ax-n/a*∫x^{n-1}*sin ax dx |
|
| 4.7 |
∫
1
cos
ax
dx
=
1
a
·
ln
|
tan
(
ax
2
+
π
4
)
| ∫1/cos ax dx=1/a*ln|tan (ax/2+%p/4)| |
| 4.8 |
∫
1
cos
2
ax
dx
=
1
a
·
tan
ax ∫1/cos^2 ax dx=1/a*tan ax |
|
| 4.9 |
∫
1
cos
n
ax
dx
=
1
a
·
(
n
−
1
)
·
sin
ax
cos
n
−
1
ax
+
n
−
2
n
−
1
·
∫
1
cos
n
−
2
ax
dx ∫1/cos^n ax dx=1/{a*(n-1)}*{sin ax}/cos^{n-1} ax+{n-2}/{n-1}*∫1/cos^{n-2} ax dx |
|
| 4.10.1 |
∫
1
1
+
cos
ax
dx
=
1
a
·
tan
ax
2 ∫1/{1+cos ax} dx=1/a*tan ax/2 |
|
| 4.10.2 |
∫
1
1
−
cos
ax
dx
=
−
1
a
·
cot
ax
2
=
−
1
a
·
tan
ax
2 ∫1/{1-cos ax} dx=-1/a*cot ax/2=-1/{a*tan ax/2} |
|
| 4.11.1 |
∫
cos
ax
1
+
cos
ax
dx
=
x
−
1
a
·
tan
ax
2 ∫{cos ax}/{1+cos ax} dx=x-1/a*tan ax/2 |
|
| 4.11.2 |
∫
cos
ax
1
−
cos
ax
dx
=
−
x
−
1
a
·
cot
ax
2
=
−
x
−
1
a
·
tan
ax
2 ∫{cos ax}/{1-cos ax} dx=-x-1/a*cot ax/2=-x-1/{a*tan ax/2} |
|
| 4.12 |
∫
x
1
+
cos
ax
dx
=
x
a
·
tan
ax
2
+
2
a
2
·
ln
|
cos
ax
2
| ∫x/{1+cos ax} dx=x/a*tan ax/2 + 2/{a^2}*ln|cos{ax/2}| |
|
| 4.13 |
∫
x
1
−
cos
ax
dx
=
−
x
a
·
cot
ax
2
+
2
a
2
·
ln
|
sin
ax
2
| ∫x/{1-cos ax} dx=-x/a*cot ax/2 + 2/a^2*ln|sin ax/2| |
|
| 4.14 |
∫
cos
ax
·
cos
bx
dx
=
sin
(
ax
−
bx
)
2
·
(
a
−
b
)
+
sin
(
ax
+
bx
)
2
·
(
a
+
b
) ∫cos ax*cos bx dx={sin(ax-bx)}/{2*(a-b)}+{sin(ax+bx)}/{2*(a+b)} |
(
|
a
|
≠
|
b
|
) |
| 5.1 |
∫
sin
ax
·
cos
ax
dx
=
1
2a
·
sin
2
ax ∫sin ax*cos ax dx=1/2a*sin^2 ax | |
| 5.2 |
∫
sin
2
ax
·
cos
2
ax
dx
=
x
8
−
sin
4ax
32a ∫sin^2 ax*cos^2 ax dx=x/8 - {sin 4ax}/32a |
|
| 5.3 |
∫
sin
n
ax
·
cos
ax
dx
=
1
a
·
(
n
+
1
)
·
sin
n
+
1
ax ∫sin^n ax*cos ax dx=1/{a*(n+1)}*sin^{n+1} ax |
(n
≠
−
1) |
| 5.4 |
∫
sin
ax
·
cos
n
ax
dx
=
−
1
a
·
(
n
+
1
)
·
cos
n
+
1
ax ∫sin ax*cos^n ax dx=-1/{a*(n+1)}*cos^{n+1} ax |
(n
≠
−
1) \(n<>-1\) |
| 5.5 |
∫
sin
n
ax
cos
ax
dx
=
−
sin
n
−
1
ax
a
·
(
n
−
1
)
+
∫
sin
n
−
2
ax
cos
ax
dx ∫{sin^n ax}/cos ax dx=-{sin^{n-1} ax}/{a*(n-1)} + ∫{sin^{n-2} ax}/cos ax dx |
|
| 5.6 |
∫
cos
n
ax
sin
ax
dx
=
cos
n
−
1
ax
a
·
(
n
−
1
)
+
∫
cos
n
−
2
ax
sin
ax
dx ∫{cos^n ax}/sin ax dx={cos^{n-1} ax}/{a*(n-1)} + ∫{cos^{n-2} ax}/sin ax dx |
|
| 5.7 |
∫
1
sin
ax
·
cos
ax
dx
=
1
a
·
ln
|
tan
ax
| ∫1/{sin ax*cos ax} dx=1/a*ln|tan ax| |
| 5.8 |
∫
1
sin
ax
±
cos
ax
dx
=
1
a
·
√
2
·
ln
|
tan
(
ax
2
±
π
8
)
| ∫1/{sin ax+-cos ax} dx=1/{a*§2}*ln|tan(ax/2 +- %p/8)| |
|
| 5.9 |
∫
sin
ax
sin
ax
±
cos
ax
dx
=
x
2
−
±
1
2a
·
ln
|
sin
ax
±
cos
ax
| ∫{sin ax}/{sin ax+-cos ax} dx=x/2 - {+-1}/2a*ln|sin ax +- cos ax| |
|
| 5.10 |
∫
cos
ax
sin
ax
±
cos
ax
dx
=
±
x
2
+
1
2a
·
ln
|
sin
ax
±
cos
ax
| ∫{cos ax}/{sin ax+-cos ax} dx=+-x/2 + 1/2a*ln|sin ax +- cos ax| |
|
| 5.11 |
∫
sin
ax
b
·
cos
ax
+
c
dx
=
−
1
ab
·
ln
|
b
·
cos
ax
+
c
| ∫{sin ax}/{b*cos ax+c} dx=-1/ab*ln|b*cos ax+c| |
|
| 5.12 |
∫
cos
ax
b
·
sin
ax
+
c
dx
=
1
ab
·
ln
|
b
·
sin
ax
+
c
| ∫{cos ax}/{b*sin ax+c} dx=1/ab*ln|b*sin {ax}+c| |
|
| 5.13 |
∫
sin
ax
·
cos
bx
dx
=
−
cos
(
ax
−
bx
)
2
·
(
a
−
b
)
−
cos
(
ax
+
bx
)
2
·
(
a
+
b
) ∫sin ax*cos bx dx=-{cos(ax-bx)}/{2*(a-b)} - {cos(ax+bx)}/{2*(a+b)} |
(
|
a
|
≠
|
b
|
) \(|a|<>|b|\) |
| 6.1 |
∫
tan
x
dx
=
−
ln
|
cos
x
| ∫tan x dx=-ln|cos x| | |
| 6.2 |
∫
tan
ax
dx
=
−
1
a
·
ln
|
cos
ax
| ∫tan ax dx=-1/a*ln|cos ax| |
|
| 6.3 |
∫
tan
2
ax
dx
=
tan
ax
a
−
x ∫tan^2 ax dx={tan ax}/a-x |
| 6.4 |
∫
tan
n
ax
dx
=
1
a
·
(
n
−
1
)
·
tan
n
−
1
ax
−
∫
tan
n
−
2
ax
dx ∫tan^n ax dx=1/{a*(n-1)}*tan^{n-1} ax - ∫ tan^{n-2} ax dx |
(führt letztlich zu 6.2 oder 6.3) |
| 6.5 |
∫
1
tan
ax
±
1
dx
=
±
x
2
+
1
2a
·
ln
|
sin
ax
±
cos
ax
| ∫1/{tan ax+-1} dx=+-x/2+1/2a*ln|sin ax+-cos ax| |
|
| 6.6 |
∫
tan
ax
tan
ax
±
1
dx
=
x
2
−
±
1
2a
·
ln
|
sin
ax
±
cos
ax
| ∫{tan ax}/{tan ax+-1} dx=x/2-{+-1}/2a*ln|sin ax+-cos ax| |
| 7.1 |
∫
cot
x
dx
=
ln
|
sin
x
| ∫cot x dx=ln|sin x| | |
| 7.2 |
∫
cot
ax
dx
=
1
a
·
ln
|
sin
ax
| ∫cot ax dx=1/a*ln|sin ax| |
| 7.3 |
∫
cot
2
ax
dx
=
−
cot
ax
a
−
x ∫cot^2 ax dx=-{cot ax}/a-x |
|
| 7.4 |
∫
cot
n
ax
dx
=
−
1
a
·
(
n
−
1
)
·
cot
n
−
1
ax
−
∫
cot
n
−
2
ax
dx ∫cot^n ax dx=-1/{a*(n-1)}*cot^{n-1} ax - ∫cot^{n-2} ax dx |
(führt letztlich zu 7.2 oder 7.3) |
| 7.5 |
∫
1
1
±
cot
ax
dx
=
∫
tan
ax
tan
ax
±
1
dx ∫1/{1+-cot ax} dx=∫{tan ax}/{tan ax+-1} dx |
(siehe 6.6) |
| 8.1 |
∫
e
x
dx
=
e
x ∫e^x dx=e^x | |
| 8.2 |
∫
e
ax
dx
=
1
a
·
e
ax ∫e^ax dx=1/a*e^ax |
|
| 8.3 |
∫
x
·
e
ax
dx
=
e
ax
a
2
·
(
ax
−
1
) ∫x*e^ax dx={e^ax}/a^2*(ax-1) |
| 8.4 |
∫
x
n
·
e
ax
dx
=
1
a
·
x
n
·
e
ax
−
n
a
·
∫
x
n
−
1
·
e
ax
dx ∫x^n*e^ax dx=1/a*x^n*e^ax - n/a*∫x^{n-1}*e^ax dx |
(führt letztlich zu 8.3) |
| 8.5 |
∫
1
b
·
e
ax
+
c
dx
=
x
c
−
1
ac
·
ln
|
b
·
e
ax
+
c
| ∫1/{b*e^ax+c} dx=x/c-1/ac*ln|b*e^ax+c| |
|
| 8.6 |
∫
e
ax
b
·
e
ax
+
c
dx
=
1
ab
·
ln
|
b
·
e
ax
+
c
| ∫{e^ax}/{b*e^ax+c} dx=1/ab*ln|b*e^ax+c| |
| 9.1 |
∫
ln
x
dx
=
x
·
ln
x
−
x
=
x
·
(
ln
x
−
1
) ∫ln x dx=x*ln x-x=x*(ln x-1) | |
| 9.2 |
∫
(
ln
x
)
2
dx
=
x
·
(
ln
x
)
2
−
2
x
·
ln
x
+
2
x ∫(ln x)^2 dx=x*(ln x)^2 - 2 x*ln x + 2 x |
|
| 9.3 |
∫
(
ln
x
)
n
dx
=
x
·
(
ln
x
)
n
−
n
·
∫
(
ln
x
)
n
−
1
dx ∫(ln x)^n dx=x*(ln x)^n - n*∫(ln x)^{n-1} dx |
|
| 9.4 |
∫
x
m
·
ln
x
dx
=
x
m
+
1
·
[
ln
x
m
+
1
−
1
(
m
+
1
)
2
] ∫x^m*ln x dx=x^{m+1}*[{ln x}/{m+1} - 1/(m+1)^2] |
(m
≠
−
1) |
| 9.5 |
∫
(
ln
x
)
n
x
dx
=
(
ln
x
)
n
+
1
n
+
1 ∫{(ln x)^n}/x dx={(ln x)^{n+1}}/{n+1} |
| 9.6 |
∫
ln
x
x
m
dx
=
−
ln
x
(
m
−
1
)
·
x
m
−
1
−
1
(
m
−
1
)
2
·
x
m
−
1 ∫{ln x}/x^m dx=-{ln x}/{(m-1)*x^{m-1}} - 1/{(m-1)^2*x^{m-1}} |
(m
≠
1) |
| 9.7 |
∫
(
ln
x
)
n
x
m
dx
=
−
(
ln
x
)
n
(
m
−
1
)
·
x
m
−
1
+
n
m
−
1
·
∫
(
ln
x
)
n
−
1
x
m
dx ∫{(ln {x})^n}/{x^m} dx=-{(ln x)^n}/{(m-1)*x^{m-1}} + n/{m-1}*∫{(ln x)^{n-1}}/x^m dx |
|
| 9.8 |
∫
1
x
·
ln
x
dx
=
ln
ln
x ∫1/{x*ln x} dx=ln ln x |
|
| 9.9 |
∫
1
x
·
(
ln
x
)
n
dx
=
−
1
(
n
−
1
)
·
(
ln
x
)
n
−
1 ∫1/{x*(ln x)^n} dx=-1/{(n-1)*(ln x)^{n-1}} |
(n
≠
1) |
| 10.1.1 |
∫
arcsin
x
dx
=
x
·
arcsin
x
+
√
1
−
x
2 ∫arcsin x dx=x*arcsin x+§{1-x^2} | |
| 10.1.2 |
∫
arccos
x
dx
=
x
·
arccos
x
−
√
1
−
x
2 ∫arccos x dx=x*arccos x-§{1-x^2} |
|
| 10.1.3 |
∫
arctan
x
dx
=
x
·
arctan
x
−
1
2
·
ln
(
1
+
x
2
) ∫arctan x dx=x*arctan x-1/2*ln(1+x^2) |
|
| 10.1.4 |
∫
arccot
x
dx
=
x
·
arccot
x
+
1
2
·
ln
(
1
+
x
2
) ∫arccot x dx=x*arccot x+1/2*ln(1+x^2) |
|
| 10.2 |
∫
arcsin
x
a
dx
=
x
·
arcsin
x
a
+
√
a
2
−
x
2 ∫arcsin x/a dx=x*arcsin x/a+§{a^2-x^2} |
|
| 10.3 |
∫
x
·
arcsin
x
a
dx
=
(
x
2
2
−
a
2
4
)
·
arcsin
x
a
+
x
4
·
√
a
2
−
x
2 ∫x*arcsin x/a dx=({x^2}/2-{a^2}/4)*arcsin x/a+x/4*§{a^2-x^2} |
|
| 10.4 |
∫
arccos
x
a
dx
=
x
·
arccos
x
a
−
√
a
2
−
x
2 ∫arccos x/a dx=x*arccos x/a-§{a^2-x^2} |
| 10.5 |
∫
x
·
arccos
x
a
dx
=
(
x
2
2
−
a
2
4
)
·
arccos
x
a
−
x
4
·
√
a
2
−
x
2 ∫x*arccos x/a dx=({x^2}/2-{a^2}/4)*arccos x/a-x/4*§{a^2-x^2} |
|
| 10.6 |
∫
arctan
x
a
dx
=
x
·
arctan
x
a
−
a
2
·
ln
(
a
2
+
x
2
) ∫arctan x/a dx=x*arctan x/a-a/2*ln(a^2+x^2) |
|
| 10.7 |
∫
x
·
arctan
x
a
dx
=
1
2
·
(
x
2
+
a
2
)
·
arctan
x
a
−
ax
2 ∫x*arctan x/a dx=1/2*(x^2+a^2)*arctan x/a-ax/2 |
|
| 10.8 |
∫
arccot
x
a
dx
=
x
·
arccot
x
a
+
a
2
·
ln
(
a
2
+
x
2
) ∫arccot x/a dx=x*arccot x/a+a/2*ln(a^2+x^2) |
|
| 10.9 |
∫
x
·
arccot
x
a
dx
=
1
2
·
(
x
2
+
a
2
)
·
arccot
x
a
+
ax
2 ∫x*arccot x/a dx=1/2*(x^2+a^2)*arccot x/a+ax/2 |
| 11.1.1 |
∫
sinh
x
dx
=
cosh
x ∫sinh x dx=cosh x | |
| 11.1.2 |
∫
cosh
x
dx
=
sinh
x ∫cosh x dx=sinh x |
|
| 11.1.3 |
∫
tanh
x
dx
=
ln
cosh
x ∫tanh x dx=ln cosh x |
|
| 11.1.4 |
∫
coth
x
dx
=
ln
sinh
x ∫coth x dx=ln sinh x |
|
| 11.2 |
∫
sinh
ax
dx
=
1
a
·
cosh
ax ∫sinh ax dx=1/a*cosh ax |
|
| 11.3 |
∫
sinh
2
ax
dx
=
1
4a
·
sinh
2ax
−
x
2 ∫sinh^2 ax dx=1/4a*sinh 2ax-x/2 |
|
| 11.4 |
∫
1
sinh
ax
dx
=
1
a
·
ln
|
tanh
ax
2
| ∫1/sinh ax dx=1/a*ln|tanh ax/2| |
|
| 11.5 |
∫
1
sinh
2
ax
dx
=
−
1
a
·
coth
ax ∫1/sinh^2 ax dx=-1/a*coth ax |
|
| 11.6 |
∫
x
·
sinh
ax
dx
=
x
a
·
cosh
ax
−
1
a
2
·
sinh
ax ∫x*sinh ax dx=x/a*cosh ax-1/a^2*sinh ax |
|
| 11.7 |
∫
sinh
ax
·
sinh
bx
dx
=
1
a
2
−
b
2
·
(
a
·
sinh
bx
·
cosh
ax
−
b
·
sinh
ax
·
cosh
bx
) ∫sinh ax*sinh bx dx=1/{a^2-b^2}*(a*sinh bx*cosh ax-b*sinh ax*cosh bx) |
(
|
a
|
≠
|
b
|
) |
| 11.8 |
∫
cosh
ax
dx
=
1
a
·
sinh
ax ∫cosh ax dx=1/a*sinh ax |
| 11.9 |
∫
cosh
2
ax
dx
=
1
4a
·
sinh
2ax
+
x
2 ∫cosh^2 ax dx=1/4a*sinh 2ax+x/2 |
|
| 11.10 |
∫
1
cosh
ax
dx
=
2
a
·
arctan
e
ax ∫1/cosh ax dx=2/a*arctan e^ax |
|
| 11.11 |
∫
1
cosh
2
ax
dx
=
1
a
·
tanh
ax ∫1/cosh^2 ax dx=1/a*tanh ax |
|
| 11.12 |
∫
x
·
cosh
ax
dx
=
x
a
·
sinh
ax
−
1
a
2
·
cosh
ax ∫x*cosh ax dx=x/a*sinh ax-1/a^2*cosh ax |
|
| 11.13 |
∫
cosh
ax
·
cosh
bx
dx
=
1
a
2
−
b
2
·
( |